PENGUKURAN GEJALA PUSAT (MEAN-MODUS-MEDIAN)
1. Rata-rata (Mean)
Rata-rata hitung atau disingkat dengan mean. Penggunaan rata-rata hitung untuk sampel bersimpul (X bar). Perhitungan mean dibagi dua yaitu mean data tunggal dan data kelompok.
a. Mean Data Tunggal
Data yang dipakai untuk menghitung mean tunggal hanya sedikit jumlahnya, perhitungannya dengan cara menunjukkan semua nilai data dibagi banyaknnya data, dengan rumus:
X bar = ΣXi
n
Keterangan
X bar : Mean
Xi : Jumlah Tiap Data
n : Jumlah Data
Contoh:
Diketahui 6 pegawai Universitas Prof. Mustopo Beragama Jakarta mengikuti tes kenaikan pangkat mempunyai nilai masing-masing: 80, 70, 90, 50, 85, 60. Carilah nilai meannya!
Jawab:
Jadi, nilai rata-rata keenam pegawai tersebut adalah 72,5
b. Mean Data Kelompok
Apabila data yang sudah dikelompokkan dalam distribusi frekuensi, maka data tersebut akan berbaur sehingga keaslian data itu akan hilang bercampur dengan data lain menurut kelasnya, hanya dalam perhitungan mean kelompok diambil titik tengahnya yaitu setengah dari jumlah ujung bawah kelas dan ujung atas kelas untuk mewakili setiap kelas interval.
Hal ini dimaksudkan untuk menghindari kemungkinan data yang ada di setiap interval mempunyai nilai yang lebih besar atau lebih kecil dari titik tengah. Perhitungan data mean kelompok dapat dicari dengan rumus:
X bar = Σ(ti.fi)
Σfi
Keterangan
X bar : Mean
ti : Titik Tengah
fi : Frekuensi
(ti.fi) : Jumlah Frekuensi
Contoh:
Diketahui nilai ujian Pengantar Statistika Sosial Universitas Prof. Mustopo Beragama Jakarta angkatan 2007 yang diikuti oleh 70 peserta. Berapakah rata-rata kelompok nilai statistika tersebut? Data sebagai berikut:
Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Pengantar Statistika Sosial
Universitas Prof. Mustopo Beragama Jakarta
|
Nilai Interval
|
Frekuensi (f)
|
|
60-64
|
2
|
|
65-69
|
6
|
|
70-74
|
15
|
|
75-79
|
20
|
|
80-84
|
16
|
|
85-89
|
7
|
|
90-94
|
4
|
|
Jumlah
|
70
|
- Buatlah tabel dan susunlah data dengan menambah kolom.
|
No.
|
Nilai Interval
|
Titik Tengah (ti)
|
Frekuensi (fi)
|
Jumlah (ti.fi)
|
|
1.
|
60-64
|
62
|
2
|
124
|
|
2.
|
65-69
|
67
|
6
|
402
|
|
3.
|
70-74
|
72
|
15
|
1080
|
|
4.
|
75-79
|
77
|
20
|
1540
|
|
5.
|
80-84
|
82
|
16
|
1312
|
|
6.
|
85-89
|
87
|
7
|
609
|
|
7.
|
90-94
|
92
|
4
|
368
|
|
Jumlah
|
Fi = 70
|
(ti.fi) = 5435
|
||
- Hitunglah nilai rata-rata dengan rumus:
Jadi, nilai rata-rata kelompok = 66,643
2. Mode (Modus)
Mode atau disingkat dengan (Mo) ialah nilai dari data yang mempunyai frekuensi tertinggi baik data tunggal maupun data distribusi atau nilai yang sering muncul dalam kelompok data.
a. Menghitung Mode Data Tunggal
Menghitung mode dengan data tunggal dilakukan sangat sederhana, yaitu dengan cara mencari nilai yang sering muncul di antara sebaran data. Ukuran ini sering dipakai untuk rata-rata data kualitatif.
Contoh:
Diketahui frekuensi kedatangan pelanggan dari Jakarta yang belanja di outlet Setia Budi Bandung tiap malam minggu per jam. Data diambil dari pukul 6.00 hingga pukul 15.00 sebagai berikut: 40; 60; 60; 65; 72; 60; 70; 60; 80; dan 90.
Jawab:
Nilai mode frekuensi kedatangan pelanggan dari Jakarta, yaitu pada nilai 60 karena muncul sebanyak 4 kali.
b. Menghitung Mode Berdistribusi
Apabila kita sudah mengerti mode berbentuk tunggal tadi, maka kita akan lebih mudah memahami mode berbentuk distribusi. Dalam hal ini dapat dihitung dengan rumus:
Mo = Bb + P . (F1)
(F1 + F2)
Keterangan
Mo = Nilai Mode
Bb = Batas bawah kelas yang mengadung nilai mode
P1 = Panjang kelas nilai mode
F1 = Selisih antara frekuensi mode (f) dengan frekuensi sebelumnya (fsb)
F2 = Selisih antara frekuensi mode (f) dengan frekuensi sesudahnya (fsd)
Contoh:
Diketahi data distribusi frekuensi sebagai berikut:
Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Pengantar Statistika Sosial
Universitas Prof. Mustopo Beragama Jakarta
|
Nilai Interval
|
Frekuensi (f)
|
|
60-64
|
2
|
|
65-69
|
6
|
|
70-74
|
15
|
|
75-79
|
20
|
|
80-84
|
16
|
|
85-89
|
7
|
|
90-94
|
4
|
|
Jumlah
|
f = 70
|
Tandailah (Bb, P, F1, dan F2) kemudian hitung modenya. Langkah-langkah menjawab
- Carilah jumlah frekuensi (f) mode yang terbanyak dalam gugusan data yang mendekati rata-rata, yaitu 20. Nilai mode terletak di kelas interval ke-4.
- Carilah batas bawah kelas mode (Bb). Bb = ½ (74 + 75) = 74,5
- Hitunglah panjang kelas mode (P). P = 75 – 79 = 5
- Carilah (F1), yaitu selisih antara frekuensi mode dengan frekuensi sebelumnya. F1 = f – fsb = 20 – 15 = 5
- Carilah (F2), yaitu selisih antara frekuensi mode dengan frekuensi sesudahnya. F2 = f – fsd = 20 – 16 = 4
- Hitung mode dengan rumus:
Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Pengantar Statistika Sosial
Universitas Prof. Mustopo Berama Jakarta
| No. | Nilai Kelas Interval | Frekuensi (f) |
| 1. | 60-64 | 2 |
| 2. | 65-69 | 6 |
| 3. | 70-74 | 15 => fsb |
| … => Bb = ½ (74 + 75) = 74,5 | F1 = f – fsb = 20 – 15 = 5 | |
| 4. | 75-79 => P = 5 | 20 => f = 20 |
| F2 = f – fsd = 20 – 16 = 4 | ||
| 5. | 80-84 | 16 => fsd |
| 6. | 85-89 | 7 |
| 7. | 90-94 | 4 |
|
Jumlah
|
f = 70 | |
3. Median
Median (Me) adalah nilai tengah dari gugusan data yang telah diurutkan (disusun) mulai dari data terkecil sampai data terbesar atau sebaliknya. Median dibagi menjadi dua perhitungan, yaitu median data tunggal dan median data kelompok.
a. Mencari Median Bentuk Data Tunggal
Mencari median data tunggal dengan cara mengurutkan data tersebut dari data terkecil sampai data terbesar atau sebaliknya, kemudian posisi median dicari dengan rumus: Me = ½ (n = 1) dimana n = jumlah data.
Contoh: Data Ganjil
Diketahui data: 65; 70; 90; 40; 35; 45; 70; 80; dan 50. Langkah-langkah menjawab:
- Urutkan data dari yang terkecil sampai data terbesar:
35; 40; 45; 50; 65; 70; 70; 80; 90
- Carilah posisi median dengan rumus: Me = ½ (n = 1)
Me = ½ (9 + 1) = 5 (posisi pada data ke-5)
Jadi letak Me = 65
Contoh: Data Genap
Diketahui data: 50; 65; 70; 90; 40; 35; 45; 70; 80; dan 90. Langkah-langkah menjawab:
- Urutkan data dari data terkecil sampai data terbesar:
35; 40; 45; 50; 50; 65; 70; 70; 80; 90
- Carilah posisi median dengan rumus: Me = ½ (n = 1)
Me = ½ (10 + 1) = 5,5 (posisi pada data ke-5,5)
Jadi, posisi Me = ½ (50 + 65) = 57,5
b. Mencari Median Data Kelompok
Mencari median data kelompok ini perlu dibuat susunan distribusi frekuensi terlebih dahulu dengan cara mengurutkan data dari yang terkecil sampai data terbesar atau sebaliknya, kemudian menghitung Rentangan (R), Jumlah Kelas (K) dan Panjang Kelas Interval (P). Kemudian membuat distribusi frekuensi dilanjutkan mencari nilai mediannya dengan rumus:
Me = Bb + P . (1/2 . n – Jf)
f
Keterangan
Me = Nilai Median
Bb = Batas Bawah Kelas Sebelum Nilai Median Akan Terletak
P = Panjang Kelas Nilai Median
n = Jumlah Data
f = Banyaknya Frekuensi Kelas Median
Jf = Jumlah dari semua frekuensi Kumulatif Sebelum Kelas Median
Contoh:
Diketahui distribusi frekuensi nilai ujian Pengantar Statistika Sosial Universitas Prof. Mustopo Beragama Jakarta yang diikuti 70 peserta, diperoleh data:
| 70 | 70 | 71 | 60 | 63 | 80 | 81 | 81 | 74 | 74 | 66 | 66 | 67 | 67 | 67 | 68 | 76 | 76 |
| 77 | 77 | 77 | 80 | 80 | 80 | 80 | 73 | 73 | 74 | 74 | 74 | 71 | 72 | 72 | 72 | 72 | 83 |
| 84 | 84 | 84 | 84 | 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | 78 | 78 | 78 | 78 | 78 | 78 | 79 |
| 79 | 81 | 82 | 82 | 83 | 89 | 85 | 85 | 87 | 90 | 93 | 94 | 94 | 87 | 87 | 89 |
- Urutkan data dari terkecil sampai terbesar.
| 60 | 63 | ||||||||||||||||||
| 66 | 66 | 67 | 67 | 67 | 68 | ||||||||||||||
| 70 | 70 | 71 | 71 | 72 | 72 | 72 | 72 | 73 | 73 | 74 | 74 | 74 | 74 | 74 | |||||
| 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | 76 | 76 | 77 | 77 | 77 | 78 | 78 | 78 | 78 | 78 | 89 | 79 |
| 80 | 80 | 80 | 80 | 80 | 81 | 81 | 81 | 82 | 82 | 83 | 83 | 84 | 84 | 84 | 84 | ||||
| 85 | 85 | 87 | 87 | 87 | 89 | 89 | |||||||||||||
| 90 | 93 | 94 | 94 |
R = data tertinggi – data terendah
R = 94 – 60 = 34
- Hitung jumlah kelas (K) dengan Sturges
K = 1 + 3,3 log 70
K = 1 + 3,3 (1,845)
K = 1 + 6, 0885 = 7, 0887 = 7
- Hitung panjang kelas interval (P)
- Tentukan batas kelas interval dengan rumus:
(60 + 5) = 65 – 1 = 64
(65 + 5) = 70 – 1 = 69
(70 + 5) = 75 – 1 = 74
(75 + 5) = 80 – 1 = 79
(80 + 5) = 85 – 1 = 84
(85 + 5) = 90 – 1 = 89
(90 + 5) = 95 – 1 = 94
- Buatlah tabel sementara dengan cara dihitung satu demi satu yang sesuai dengan urutan interval kelas.
Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Pengantar Statistika Sosial
Universitas Prof. Mustopo Beragama Jakarta
|
Nilai
|
Rincian
|
Frekuensi (f)
|
|
60-64
|
II
|
2
|
|
65-69
|
IIIII I
|
6
|
|
70-74
|
IIIII IIIII IIIII
|
15
|
|
75-79
|
IIIII IIIII IIIII IIIII
|
20
|
|
80-84
|
IIIII IIIII IIIII I
|
16
|
|
85-89
|
IIIII II
|
7
|
|
90-94
|
IIII
|
4
|
|
Jumlah
|
f = 70 | |
- Cari batas bawah kelas median (Bb)
Bb = ½ (74 + 75) = 74,5 atau 74 + ½ = 74,5
- Hitung panjang kelas median (P) => P = 75 – 79 = 5
- Carilah jumlah frekuensi kelas median (f) => f = 20
- Cari jumlah dari semua frekuensi kumulatif di bawah kelas median:
(Jf) => Jf = 2 + 6 + 15 = 23
- Hitung nilai median dengan rumus:
Jadi, nilai median (Me) = 77,5
Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Pengantar Statistika Sosial
Universitas Prof. Mustopo Beragama Jakarta
| No. | Nilai Interval | Frekuensi (f) |
| 1. |
60-64
|
2 |
| 2. |
65-69
|
6 |
| 3. |
70-74 => Bb = 74 + ½ = 74,5
|
15 |
| 4. |
75-79 => P = 5
|
20 => f = 20 |
| 5. |
80-84
|
16 |
| 6. |
85-89
|
7 |
| 7. |
90-94
|
4 |
|
Jumlah
|
f = 70 | |
